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By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen In diesem Kapitel werden in (d)-Ebenen Parallelverschiebungen definiert und deren Eigenschaften untersucht. Die Parallelverschiebungen werden die Vektoren unseres Vektorraums werden. Sie werden hier konstruktiv mit Hilfe von Parallelogrammen eingef¨ uhrt1 . Deshalb beginnen wir dieses Kapitel mit der Definition von Parallelogrammen. Damit die Parallelverschiebungen τP Q auf ganz P und f¨ ur jedes Punktepaar (P, Q) erkl¨art sind, m¨ ussen bei den Parallelogrammen auch Sonderf¨alle zugelassen werden.

Sie ist bijektiv mit der Umkehrabbildung τ → τ (O) . Somit stimmt f¨ ur jede Gerade g die Menge Tg (O) := { τ (O) | τ ∈ Tg } mit der Menge Pg aller Punkte auf g u ¨berein, wobei in Tg (O) jeder Punkt auf g genau einmal auftritt. 13 Konjugationen in Gruppen Wir erinnern an eine Sprechweise aus der Gruppentheorie, die wir im Folgenden verwenden wollen. Definition : Ist (G, ∗) eine Gruppe und ist a ∈ G, so heißt die Abbildung konja : G → G mit g → a ∗ g ∗ a−1 von G in sich die Konjugation von G mit a .

B) In beliebigen affinen Inzidenzebenen gilt: Jede Translation ϑ ist eine Parallelverschiebung und zwar stimmt ϑ mit der Parallelverschiebung πA,ϑ(A) u ¨berein, wobei der Punkt A beliebig gew¨ ahlt werden kann. Umgekehrt ist jede Parallelverschiebung, die eine Dilatation ist, eine Translation. (c) In (d)-Ebenen sind die Translationen gerade die Parallelverschiebungen. Aufgrund dieses Ergebnisses unterscheiden wir in (d)-Ebenen in Zukunft nicht mehr zwischen Parallelverschiebungen und Translationen und sprechen meistens von Translationen.

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