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By Thomas Keilen

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Example text

Damit ist aber σi = id f¨ ur i = s + 1, . . , t und somit ist σ = σ1 ◦ . . ◦ σs das Produkt von s Zyklen. Da sich σi als Produkt von ki − 1 Transpositionen schreiben l¨aßt, l¨aßt sich σ als Produkt von (k1 − 1) + . . + (ks − 1) = (k1 + . . + ks ) − s ≤ n − 1 Transpositionen schreiben. Die Behauptung ist also f¨ ur σ = id gezeigt. Da aber n ≥ 2 und zudem id = (1 2) ◦ (1 2) das Produkt von zwei Transpositionen ist, ist die Proposition bewiesen. Der Beweis ist konstruktiv, da die Gleichung (25) angibt, wie man einen Zyklus in Transpositionen zerlegt und somit die Aufgabe, eine Permutation als Produkt von Transpositionen zu schreiben, auf die Berechnung einer Zyklenzerlegung reduziert.

Falls σ eine gerade Anzahl von Fehlst¨anden besitzt, falls σ eine ungerade Anzahl von Fehlst¨anden besitzt. 16 Eine Transposition τ = (i j) ∈ Sn , mit i < j, hat die 2 · (j − i − 1) + 1 Fehlst¨ande (i, i + 1), (i, i + 2), . . , (i, j), (i + 1, j), (i + 2, j), . . , (j − 1, j), und mithin gilt sgn(τ) = −1. Die Permutation σ= 1 2 3 4 2 1 4 3 hat die Fehlst¨ande (1, 2) und (3, 4). Also gilt sgn(σ) = 1. ✷ ¨ Manchmal ist die folgende geschlossene Formel n¨ utzlich, deren Beweis als Ubungsaufgabe dem Leser u ¨berlassen sei, da wir sie im folgenden nicht verwenden werden.

N} = · (22) {ai1 , ai2 , . . , aiki }. i=1 Es bleibt also noch σ = σ1 ◦ · · · ◦ σt zu zeigen, wobei σi = (ai1 · · · aiki ) ein ki -Zyklus ist. Sei dazu b ∈ {1, . . , n}, so ist b = aij = σj−1 (ai1 ) f¨ ur ein 1 ≤ i ≤ t und ein 1 ≤ j ≤ ki . Wenden wir nun σ auf b an, so erhalten wir σ(b) = σ(aij ) = σj (ai1 ) = aij+1 , ai1 , falls j < ki , falls j = ki = σi (b). Da die Zerlegung in (22) disjunkt ist und sowohl b, als auch σi (b) in {ai1 , . . h. σ1 ◦ · · · ◦ σt (b) = σi (b) = σ(b). Damit ist die Aussage des Satzes gezeigt.

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